사원수(쿼터니온, Quaternion)에 대하여

 

1.1 복소평면

복소수를 기하학적으로 표현하기 위해 실수축과 허수축을 기반으로 한 평면.

한 점을 나타날 때, (x, y) = x + y * i로 나타낸다. (x, y는 실수)

 

 

 

1.2 복소평면(2차원)에서의 회전

\(x = r × cos(a)\)

\(y =  r × sin(a)\)

\(A = x + i × y = r × \bigl(cos(a) + i × sin(a)\bigr)\)

// 삼각함수 곱셈법칙
\(z = r × cos(a+b) = r × \bigl(cos(a) × cos(b) - sin(a) × sin(b)\bigr)\)
// 삼각함수 곱셈법칙
\(w = r × sin(a+b) = r × \bigl(sin(a) × cos(b) + cos(a) × sin(b)\bigr)\)

\(B = r × (z + i × w)\)

// -1을 \(i^2\) 로 변경
\({\scriptsize = r × \Bigl(cos(a) × cos(b) - sin(a) × sin(b) + i × \bigl(sin(a) × cos(b) + cos(a) × sin(b)\bigr)\Bigr)}\)

\({\scriptsize =r × \bigl(i^2 × sin(a) × sin(b) +  i × sin(a) × cos(b) +  i × cos(a) × sin(b) + cos(a) × cos(b)\bigr)}\)
// 곱셈공식 이용
\(\scriptsize = r × \Bigl(i × sin(a) × \bigl( i × sin(b) + cos(b)\bigr) + cos(a) × \bigl(i × sin(b) + cos(b)\bigr)\Bigr)\)

\(=  r × \bigl(i × sin(a) + cos(a)\bigr) × \bigl(i × sin(b) + cos(b)\bigr)\)


=> 점 A에 회전복소수 \(\hat{v}=\bigl(cos(b), sin(b)\bigr)=cos(b)+sin(b)×i\)를 곱하게 되면 각도 b만큼 회전한 점 B를 얻게 된다는 것을 유도할 수 있고, 회전복소수 \(\hat{v}\)의 모습이 단위벡터와 같다는 점을 알 수 있다.

 

 

 

1.3 2차원 회전행렬

\(\left[\begin{matrix}cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta)\end{matrix}\right]\)

(수식 전개는 위키피디아의 회전변환행렬을 참고)

 

 

 

2.1 삼원수

기본적으로 허수 i와 허수 j에 대하여 \(i^2 = j^2 = -1\)이다.

 

임의의 삼원수 A에 대하여 \(A = a + b × i + c × j (a, b, c는 실수)\)이다.

여기서 삼원수의 곱 중 하나인 \(i × j\)도 동일한 수 체계로 표현할 수 있어야 하므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\(i × j = a + b × i + c × j\)

\(0 = a + b × i + c × j - i × j\)

\(0 = a + b × i + (c - i) × j\) or \(0 = a + (b - j) × i + c × j\)

\(a = 0, b = 0, c = i\) or \(a = 0, b = j, c = 0\)

여기서 전제조건 (a, b, c는 실수)를 만족시킬 수 없으므로 삼원수의 곱은 삼원수로 나타낼 수 없다는 사실을 알 수 있다.

곱셈이 잘 정의(well-defined)되어 있지 않기 때문에 수 체계라고 할 수 없다.

 

 

 

3.1 사원수(쿼터니온, Quaternion)

여기서 k라는 새로운 허수축을 도입하게 되면서 새로운 수 체계가 등장하게 된다.

 

사원수(쿼터니온, Quaternion)의 정의는 허수 i, 허수 j, 허수 k에 대하여 \(i^2 = j^2 = k^2 = i×j×k = -1\)이다.

이러한 성질을 이용하여 \(i×j = k, j × k = i, k × i = j\)도 유도가 가능하다.

다만 여기서 사원수는 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않는 다는 점(비가환)이 발견된다.

• \(i×j = k\) \(\neq\) \(j×i = k×i×i = -k\)
• \(k×i = j\) \(\neq\) \(i×k = i×i×j = -j\)
• \(j×k = i\) \(\neq\) \(k×j = i×j×j = -i\)

임의의 사원수 Q는 아래와 같이 표현한다.

\(Q = (w, x, y, z) = w + x × i + y × j + z × k (w, x, y, z는 실수)\)

 

임의의 사원수 Q에 대하여 실수부(스칼라부, w)와 허수부(벡터부, (x, y, z))로 나누는데 아래와 같은 표현도 가능하다.

\(v = (x, y, z)\)라 할 때, \(q = (w, v)\)이다.

 

 

 

3.2 사원수의 곱셈

\(Q_1 = a_1 + b_1i + c_1j + d_1k = (r_1, \vec{v_1})\)

\(Q_2 = a_2 + b_2i + c_2j + d_2k = (r_2, \vec{v_2})\)

\(\begin{align}Q_1Q_2 &= a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2\\ &+ (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i \\ &+ (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j \\ &+ (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k \\ &= (r_1r_2 - \vec{v_1}\cdot\vec{v_2}, r_1\vec{v_2} + r_2\vec{v_1} + \vec{v_1}×\vec{v_2}) \end{align}\)

 

 

 

3.3 3차원에서의 회전

위의 그림이 모든 것을 말해준다.

점 P를 특정 축(\(\hat{v}\))을 이용해 \(\theta\)만큼 회전시킨 점 P'에 대한 공식은 아래와 같다.

\(P = (0, p)\)

\(P'=\hat{Q}P{\hat{Q}}^{-1}\)

 

연산에 사용할 회전 사원수 \(\hat{Q}\)는 크기가 1인 단위사원수이고 오일러공식을 만족시켜야 하는데

이는 실수부가 \(cos(\frac{\theta}{2})\)이고 허수부가 \(sin(\frac{\theta}{2})\)×단위벡터(Direction cosine, \(\hat{v}\))로 이루어져 있으며 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\(\begin{align}\hat{Q} &= e^{\frac{\theta}{2}(v_xi+v_yj+v_zk)}\\ &= cos(\frac{\theta}{2}) + sin(\frac{\theta}{2})(v_xi+v_yj+v_zk) \\ &= (cos(\frac{\theta}{2}), sin(\frac{\theta}{2})×\hat{v})\end{align}\)
\(\begin{align}{\hat{Q}}^{-1} &= e^{\frac{\theta}{2}(v_xi+v_yj+v_zk)}\\ &= cos(\frac{\theta}{2}) - sin(\frac{\theta}{2})(v_xi+v_yj+v_zk) \\ &= (cos(\frac{\theta}{2}), -sin(\frac{\theta}{2})×\hat{v})\end{align}\)

 

연산은 로드리게스 회전 공식으로 귀결되는데 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\(P' = (0, p+w(v×p)+2(v×(v×p)))\)

 

여러가지 증명은 이 PPT와 이 링크를 참고.

 

 

 

3.4 3차원 회전 행렬

\(\left[\begin{matrix}1-2y^2-2z^2 & 2xy-2wz & 2xz+2wy & 0 \\ 2xy + 2wz & 1 - 2x^2 - 2z^2 & 2yz - 2wx & 0 \\ 2xz-2wy & 2yz + 2wx & 1 - 2x^2 -2y^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\)

 

 

 

마치며

켤레복소수(Complex conjurate)라던가, 항등원(Identity), 역원(Inverse), 노멀(Norm) 등에 대한 정리는 다른 분들의 포스팅에서 훨씬 잘 설명하고 있기 때문에 굳이 적지 않았다. 사실 시간이 된다면 로드리게스 회전 공식을 조금 더 파서 \(P'=\hat{Q}P{\hat{Q}}^{-1}\)를 위의 PPT와 링크와는 다른 방식으로 증명하고 싶은데 요 며칠 이것만 팠더니 머리가 아프다. 다른 일을 해야겠다.

 

 

 

 

References

복소평면

회전변환행렬

 

Quaternions and spatial rotation - Wikipedia

쿼터니온(Quaternion) 정리